用Python结合统计学知识进行数据探索分析

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本文用Python统计模拟的方法,介绍四种常用的统计分布,包括离散分布:二项分布和泊松分布,以及连续分布:指数分布和正态分布,最后查看人群的身高和体重数据所符合的分布。

本文用

Python

统计模拟的方法,介绍四种常用的

统计分布

,包括离散分布:二项分布和泊松分布,以及连续分布:指数分布和正态分布,最后查看人群的身高和体重数据所符合的分布。

# 导入相关模块import pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as sns

%matplotlib inline

%config InlineBackend.figure_format = 'retina'

随机数

计算机发明后,便产生了一种全新的解决问题的方式:使用计算机对现实世界进行统计模拟。该方法又称为“蒙特卡洛方法(Monte Carlo method)”,起源于二战时美国研制原子弹的曼哈顿计划,它的发明人中就有大名鼎鼎的冯·诺依曼。蒙特卡洛方法的名字来源也颇为有趣,相传另一位发明者乌拉姆的叔叔经常在摩洛哥的蒙特卡洛赌场输钱,赌博是一场概率的游戏,故而以概率为基础的统计模拟方法就以这一赌城命名了。

使用统计模拟,首先要产生随机数,在Python中,numpy.random 模块提供了丰富的随机数生成函数。比如生成0到1之间的任意随机数:

np.random.random(size=5) # size表示生成随机数的个数

array([ 0.32392203, 0.3373342 , 0.51677112, 0.28451491, 0.07627541])

又比如生成一定范围内的随机整数:

np.random.randint(1, 10, size=5) # 生成5个1到9之间的随机整数

array([5, 6, 9, 1, 7])

计算机生成的随机数其实是伪随机数,是由一定的方法计算出来的,因此我们可以按下面方法指定随机数生成的种子,这样的好处是以后重复计算时,能保证得到相同的模拟结果。

np.random.seed(123)

在NumPy中,不仅可以生成上述简单的随机数,还可以按照一定的统计分布生成相应的随机数。这里列举了二项分布、泊松分布、指数分布和正态分布各自对应的随机数生成函数,接下来我们分别研究这四种类型的统计分布。

np.random.binomial()

np.random.poisson()

np.random.exponential()

np.random.normal()

二项分布

二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的概率分布,其中每次试验的成功概率为p。这是一个离散分布,所以使用概率质量函数(PMF)来表示k次成功的概率:

最常见的二项分布就是投硬币问题了,投n次硬币,正面朝上次数就满足该分布。下面我们使用计算机模拟的方法,产生10000个符合(n,p)的二项分布随机数,相当于进行10000次实验,每次实验投掷了n枚硬币,正面朝上的硬币数就是所产生的随机数。同时使用直方图函数绘制出二项分布的PMF图。

def plot_binomial(n,p):

'''绘制二项分布的概率质量函数'''

sample = np.random.binomial(n,p,size=10000) # 产生10000个符合二项分布的随机数

bins = np.arange(n+2)

plt.hist(sample, bins=bins, align='left', normed=True, rwidth=0.1) # 绘制直方图

#设置标题和坐标

plt.title('Binomial PMF with n={}, p={}'.format(n,p))

plt.xlabel('number of successes')

plt.ylabel('probability')

plot_binomial(10, 0.5)

投10枚硬币,如果正面或反面朝上的概率相同,即p=0.5, 那么出现正面次数的分布符合上图所示的二项分布。该分布左右对称,最有可能的情况是正面出现5次。

但如果这是一枚作假的硬币呢?比如正面朝上的概率p=0.2,或者是p=0.8,又会怎样呢?我们依然可以做出该情况下的PMF图。

fig = plt.figure(figsize=(12,4.5)) #设置画布大小p1 = fig.add_subplot(121) # 添加第一个子图plot_binomial(10, 0.2)

p2 = fig.add_subplot(122) # 添加第二个子图plot_binomial(10, 0.8)

这时的分布不再对称了,正如我们所料,当概率p=0.2时,正面最有可能出现2次;而当p=0.8时,正面最有可能出现8次。

泊松分布

泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布,它也是离散分布,其概率质量函数为:

比如你在等公交车,假设这些公交车的到来是独立且随机的(当然这不是现实),前后车之间没有关系,那么在1小时中到来的公交车数量就符合泊松分布。同样使用统计模拟的方法绘制该泊松分布,这里假设每小时平均来6辆车(即上述公式中lambda=6)。

lamb = 6sample = np.random.poisson(lamb, size=10000) # 生成10000个符合泊松分布的随机数bins = np.arange(20)

plt.hist(sample, bins=bins, align='left', rwidth=0.1, normed=True) # 绘制直方图# 设置标题和坐标轴plt.title('Poisson PMF (lambda=6)')

plt.xlabel('number of arrivals')

plt.ylabel('probability')

plt.show()

指数分布

指数分布用以描述独立随机事件发生的时间间隔,这是一个连续分布,所以用质量密度函数表示:

比如上面等公交车的例子,两辆车到来的时间间隔,就符合指数分布。假设平均间隔为10分钟(即1/lambda=10),那么从上次发车开始,你等车的时间就满足下图所示的指数分布。

tau = 10sample = np.random.exponential(tau, size=10000) # 产生10000个满足指数分布的随机数plt.hist(sample, bins=80, alpha=0.7, normed=True) #绘制直方图plt.margins(0.02)

# 根据公式绘制指数分布的概率密度函数lam = 1 / tau

x = np.arange(0,80,0.1)

y = lam * np.exp(- lam * x)

plt.plot(x,y,color='orange', lw=3)#设置标题和坐标轴plt.title('Exponential distribution, 1/lambda=10')

plt.xlabel('time')

plt.ylabel('PDF')

plt.show()

正态分布

正态分布是一种很常用的统计分布,可以描述现实世界的诸多事物,具备非常漂亮的性质,我们在下一讲参数估计之中心极限定理时会详细介绍。其概率密度函数为:

以下绘制了均值为0,标准差为1的正态分布的概率密度曲线,其形状好似一口倒扣的钟,因此也称钟形曲线。

def norm_pdf(x,mu,sigma):

'''正态分布概率密度函数'''

pdf = np.exp(-((x - mu)**2) / (2* sigma**2)) / (sigma * np.sqrt(2*np.pi)) return pdf

mu = 0 # 均值为0sigma = 1 # 标准差为1# 用统计模拟绘制正态分布的直方图sample = np.random.normal(mu, sigma, size=10000)

plt. hist(sample, bins=100, alpha=0.7, normed=True)# 根据正态分布的公式绘制PDF曲线x = np.arange(-5, 5, 0.01)

y = norm_pdf(x, mu, sigma)

plt.plot(x,y, color='orange', lw=3)

plt.show()

身高、体重的分布

以上从计算机模拟的角度出发,介绍了四种分布,现在让我们看一下现实中的数据分布。继续上一讲数据探索之描述性统计中使用的BRFSS数据集,我们查看其中的身高和体重数据,看看他们是不是满足正态分布。

首先导入数据,并编写绘制PDF和CDF图的函数 plot_pdf_cdf(),便于重复使用。

# 导入BRFSS数据import brfss

df = brfss.ReadBrfss()

height = df.height.dropna()

weight = df.weight.dropna()

def plot_pdf_cdf(data, xbins, xrange, xlabel):

'''绘制概率密度函数PDF和累积分布函数CDF'''

fig = plt.figure(figsize=(16,5)) # 设置画布尺寸

p1 = fig.add_subplot(121) # 添加第一个子图

# 绘制正态分布PDF曲线

std = data.std()

mean = data.mean()

x = np.arange(xrange[0], xrange[1], (xrange[1]-xrange[0])/100)

y = norm_pdf(x, mean, std)

plt.plot(x,y, label='normal distribution') # 绘制数据的直方图

plt.hist(data, bins=xbins, range=xrange, rwidth=0.9,

alpha=0.5, normed=True, label='observables') # 图片设置

plt.legend()

plt.xlabel(xlabel)

plt.title(xlabel +' PDF')

p2 = fig.add_subplot(122) #添加第二个子图

# 绘制正态分布CDF曲线

sample = np.random.normal(mean, std, size=10000)

plt.hist(sample, cumulative=True, bins=1000, range=xrange,

normed=True, histtype='step', lw=2, label='normal distribution') # 绘制数据的CDF曲线

plt.hist(data, cumulative=True, bins=1000, range=xrange,

normed=True, histtype='step', lw=2, label='observables') #图片设置

plt.legend(loc='upper left')

plt.xlabel(xlabel)

plt.title( xlabel + ' CDF')

plt.show()

人群的身高分布比较符合正态分布。

plot_pdf_cdf(data=height, xbins=21, xrange=(1.2, 2.2), xlabel='height')

但是体重分布明显右偏,与对称的正态分布存在一定的差异。

plot_pdf_cdf(data=weight, xbins=60, xrange=(0,300), xlabel='weight')

将体重数据取对数值后,其分布就与正态分布非常吻合。

log_weight = np.log(weight)

plot_pdf_cdf(data=log_weight, xbins=53, xrange=(3,6), xlabel='log weight')